Metodo di Newton

Calcolatrice grafica per il metodo di Newton

Il diagramma mostra il numero di passi di iterazione scelti dal valore iniziale in linee lineari. Le linee tratteggiate indicano il valore iniziale del passo di iterazione successivo. È possibile selezionare il punto di partenza nel diagramma e spostarsi lungo la funzione.

⃢

↹#.000

🔍↔

🔍↕

Numero di iterazioni=

Valore iniziale x₀=

Funzione f(x):

Linea tangente:

Gamme di assi

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Valore del parametro

a=

b=

c=

Gamme di parametri

a-min=

b-min=

c-min=

a-max=

b-max=

c-max=

f(x)=

cl

ok

Pos1

End

7

8

9

/

x

4

5

6

*

a

b

c

1

2

3

-

π

(

)

0

.

+

sin

cos

tan

e^x

ln

x^a

a/x

^

asin

acos

atan

x²

√x

a^x

a/(x+b)

|x|

sinh

cosh

^a⋅x+c / _b⋅x+c

^a+x / _b+x

^x²-a²/ _x²+b²

^a / _x+b

^1+√x / _1-√y

e^xsin(x)cos(x)

√x+a

√e^a⋅x

a⋅x²+b⋅x+c

\sin (π x + \frac{π}{4})

\cos (π x + \frac{π}{4})

\tan (π x + \frac{π}{4})

\sin^{2} (π x + \frac{π}{4})

\cos^{2} (π x + \frac{π}{4})

\tan^{2} (π x + \frac{π}{4})

\frac{1}{\sin (x)}

\frac{1}{\cos (x)}

\frac{1}{\tan (x)}

\frac{\sin (x)}{\cos (π \cdot x)}

\sin (\cos (x))

e^{x} \sin (x) \cos (x)

Funzione	Descrizione
sin(x)	Seno di x
cos(x)	Coseno di x
tan(x)	Tangente di x
asin(x)	arcsine
acos(x)	arccosine of x
atan(x)	arctangent of x
atan2(y, x)	Restituisce l'arctangente del quoziente dei suoi argomenti.
cosh(x)	Coseno iperbolico di x
sinh(x)	Seno iperbolico di x
pow(a, b)	Potenza a^b
sqrt(x)	Radice quadrata
exp(x)	e-funzione
log(x), ln(x)	Logaritmo naturale
log(x, b)	Logaritmo in base b
log2(x), lb(x)	Logaritmo in base 2
log10(x), ld(x)	Logaritmo in base 10

più ...

Notazione: La funzione deve essere inserita nella notazione della sintassi Javascript.

Parametri: Sono disponibili tre costanti a, b e c, che possono essere modificate mediante i cursori. Il punto di partenza è indicato dalla croce nera nel diagramma e può essere spostato.

Iterazioni calcolate con il metodo di Newton

Descrizione del metodo di Newton

Il metodo di Newton, noto anche come metodo di Newton-Raphson, è un metodo iterativo per determinare gli zeri delle funzioni. È stato sviluppato da Sir Isaac Newton nel XVII secolo e si basa sull'idea che una funzione vicina allo zero possa essere approssimata dalla sua tangente. Il metodo di Newton utilizza l'idea dell'iterazione, il che significa che passa attraverso diverse fasi per trovare un'approssimazione dello zero. Il processo consiste nello scegliere una stima iniziale per il punto zero (x0) e poi utilizzare l'equazione della tangente della funzione in quel punto per trovare una nuova stima (x1). Questo processo si ripete finché non si raggiunge la precisione desiderata.

Le fasi del metodo Newton sono:

Scegliere una stima iniziale x0.
Calcolare la derivata prima f'(x) della funzione f(x) nel punto x0.
Calcolare la nuova stima x1 con la formula x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)

Ripetere i passaggi fino a raggiungere la precisione desiderata.

Il metodo di Newton può convergere alla soluzione degli zeri delle funzioni molto rapidamente, ma presenta alcune limitazioni. Non è sempre garantita la convergenza alla soluzione e richiede la conoscenza della derivata prima della funzione. Inoltre, non è adatto a tutte le funzioni e può portare a risultati indesiderati se la stima iniziale non è ben scelta.

Lo scopo del metodo di Newton è trovare uno zero di una funzione generalmente non lineare. Vale a dire, trovare una soluzione dell'equazione

$f (x) = 0$

A tal fine, la funzione viene linearizzata in un punto x₀ sostituendo la funzione con la sua tangente. Quindi, da un'equazione della retta che passa per il punto (x₀), la pendenza f'(x₀).

La forma generale dell'equazione della retta è

$y = a x + b$

Le condizioni

$f (x_{0}) = f' (x_{0}) x_{0} + b$

Sciogliersi dopo b

$b = f (x_{0}) - f' (x_{0}) x_{0}$

L'equazione della retta è quindi completamente determinata

$y = f' (x_{0}) x + f (x_{0}) - f' (x_{0}) x_{0} = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})$

Il punto zero desiderato di f viene ora sostituito dal punto zero dell'equazione della retta in prima approssimazione.

$0 = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})$

Risolvendo a x si ottiene la prima approssimazione per il punto zero.

$x = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})}$

L'iterazione consiste nell'utilizzare questa approssimazione come punto di partenza per l'approssimazione successiva. Il processo di iterazione è quindi il seguente:

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})}$

con qualsiasi valore iniziale x₀. Se e quando il metodo di Newton converge dipende in modo sensibile dalla scelta del valore di partenza.

Esempio di metodo di Newton

L'esempio mostra le fasi di iterazione del metodo di Newton per trovare numericamente la radice di una funzione quadratica.

La funzione di esempio è:

$f (x) = x^{2} - x$

Il derivato è:

$f' (x) = 2 x - 1$

Utilizziamo come valore iniziale:

$x_{0} = 3.5$

Il primo passo di iterazione è:

$x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})} = 3.5 - \frac{8.75}{6.5} = 2.04167$

Il valore della funzione al primo passo di iterazione è:

$f (x_{1}) = 2.12674$

$f' (x_{1}) = 3.08334$

Quindi la seconda fase di iterazione è:

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})} = 2.04167 - \frac{2.12674}{3.08334} = 1.35192$

E così via per le ulteriori fasi di iterazione.

Screenshot del grafico